Preuve géométrique de l'existence et de l'unicité d'une distribution invariante pour une chaîne de Markov à 3 états s'il n'y a aucun zéro dans la matrice de transition

Propriété

Soit une chaîne de Markov  $(X_k)$ à  $3$  états, de matrice de transition associée $T$ . Si la matrice de transition  $T$ ne contient aucun zéro, alors il existe une unique distribution invariante de cette chaîne de Markov.

Preuve

Dans le cas à  $3$  états, l'étude calculatoire est longue et pénible puisque, pour écrire  $T$ , il faut utiliser non plus deux mais six paramètres. Il est cependant possible d'envisager une approche géométrique, similaire à celle effectuée pour  $2$ états mais dans l'espace.

Vision géométrique

On résout $X=XT$  avec  $X=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)$  une distribution de probabilités et  $T=\left(\begin{array}{ccc}{p}_1& p_2& 1-(p_1+p_2)\\ q_1& q_2& 1-(q_1+q_2)\\ r_1& r_2& 1-(r_1+r_2)\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}X\text{ est une distribution de probabilites}\\ X=XT\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a+b+c=1\text{ avec }0\le a\le 1\text{ , }0\le b\le 1\text{ et }0\le c\le 1\\ a=p_{1}a+q_{1}b+r_{1}c\\ b=p_{2}a+q_{2}b+r_{2}c\\ c=(1-p_1-p_2)a+(1-q_1-q_2)b+(1-r_1-r_2)c\end{array}$

En remarquant que la somme des trois dernières équations donne  $a+b+c=a+b+c$ , on peut supprimer la dernière équation.
Donc  $X=XT\iff \{\begin{array}{l}a+b+c=1\\ (1-p_1)a-q_{1}b-r_{1}c=0\\ -p_{2}a+(1-q_2)b-r_{2}c=0\end{array}$

Dans l'espace où on place  $a$  en abscisses,  $b$  en ordonnées et $c$  en cotes, cela revient donc à chercher l'intersection de trois plans  $P_1$ ,  $P_2$  et $P_3$  à l'intérieur d'un cube délimité par les plans de bases du repère et les plans  $x=1$  ,  $y=1$  et  $z=1$ .
Le plan  $P_1$ , d'équation  $a+b+c=1$ , passe par les points de coordonnées  $(1;0;0)$ ,  $(0;1;0)$ et  $(0;0;1)$ .
Les plans  $P_2$ , et  $P_3$  passent par l'origine du repère et ont respectivement pour vecteur normaux  $\overrightarrow{n_1}\left(\begin{array}{c}1-p_1\\ -q_1\\ -r_1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{n_2}\left(\begin{array}{c}-p_2\\ 1-q_2\\ -r_2\end{array}\right)$ .
La condition  $T$  n'a aucun coefficient nul donne pour  $\overrightarrow{n_1}$ ,  $\{\begin{array}{l}0<1-p_1<1\\ -1<-q_1<0\\ -1<-r_1<0\end{array}$  
et pour  $\overrightarrow{n_2}$ ,  $\{\begin{array}{l}-1<-p_2<0\\ 0<1-q_2<1\\ -1<-r_2<0\end{array}$ .

Ces deux vecteurs ne peuvent donc pas être colinéaires en raison des signes de leurs coordonnées. Donc les  $P_2$  et  $P_3$  sont sécants, leur intersection est une droite $d$ .

De plus, toujours pour des raisons de signes des coordonnées des vecteurs normaux des trois plans, la droite  $d$  est donc sécante avec le plan  $P_1$  en un point, dont les coordonnées donnent l'unique distribution invariante de la chaîne de Markov considérée.

On a bien retrouvé géométriquement l'existence et l'unicité d'une distribution invariante.

Remarque

Cette démonstration serait valable pour  $n>3$  en remplaçant les 3 plans par  $n$  « hyperplans ».