Preuve géométrique de l'existence et de l'unicité d'une distribution invariante pour une chaîne de Markov à 3 états s'il n'y a aucun zéro dans la matrice de transition

Propriété

Soit une chaîne de Markov  \((X_k)\) à  \(3\)  états, de matrice de transition associée \(T\) . Si la matrice de transition  \(T\) ne contient aucun zéro, alors il existe une unique distribution invariante de cette chaîne de Markov.

Preuve

Dans le cas à  \(3\)  états, l'étude calculatoire est longue et pénible puisque, pour écrire  \(T\) , il faut utiliser non plus deux mais six paramètres. Il est cependant possible d'envisager une approche géométrique, similaire à celle effectuée pour  \(2\) états mais dans l'espace.

Vision géométrique

On résout \(X=XT\)  avec  \(X=\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\)  une distribution de probabilités et  \(T=\begin{pmatrix}p_1&p_2&1-(p_1+p_2)\\q_1&q_2&1-(q_1+q_2)\\r_1&r_2&1-(r_1+r_2)\end{pmatrix}\)

\(\begin{cases}X\text{ est une distribution de probabilites}\\X=XT\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c=1 \text{ avec } {0}\leq{a}\leq{1} \text{ , } {0}\leq{b}\leq{1} \text{ et } {0}\leq{c}\leq{1} \\ a=p_1a+q_1b+r_1c\\ b=p_2a+q_2b+r_2c\\c=(1-p_1-p_2)a+(1-q_1-q_2)b+(1-r_1-r_2)c \end{cases}\)

En remarquant que la somme des trois dernières équations donne  \(a+b+c=a+b+c\) , on peut supprimer la dernière équation.
Donc  \(X=XT \Leftrightarrow \begin {cases} a+b+c=1\\(1-p_1)a-q_1b-r_1c=0\\-p_2a+(1-q_2)b-r_2c=0 \end {cases}\)

Dans l'espace où on place  \(a\)  en abscisses,  \(b\)  en ordonnées et \(c\)  en cotes, cela revient donc à chercher l'intersection de trois plans  \(P_1\) ,  \(P_2\)  et \(P_3\)  à l'intérieur d'un cube délimité par les plans de bases du repère et les plans  \(x=1\)  ,  \(y=1\)  et  \(z=1\) .
Le plan  \(P_1\) , d'équation  \(a+b+c=1\) , passe par les points de coordonnées  \((1 ; 0;0)\) ,  \((0;1;0)\) et  \((0;0;1)\) .
Les plans  \(P_2\) , et  \(P_3\)  passent par l'origine du repère et ont respectivement pour vecteur normaux  \(\vec{n_1} \begin{pmatrix}1-p_1\\-q_1\\-r_1\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_2} \begin{pmatrix}-p_2\\1-q_2\\-r_2\end{pmatrix}\) .
La condition  \(T\)  n'a aucun coefficient nul donne pour  \(\vec{n_1}\) ,  \(\begin {cases}0<1-p_1<1\\-1<-q_1<0\\-1<-r_1<0\end{cases}\)  
et pour  \(\vec{n_2}\) ,  \(\begin {cases}-1<-p_2<0\\0<1-q_2<1\\-1<-r_2<0\end{cases}\) .

Ces deux vecteurs ne peuvent donc pas être colinéaires en raison des signes de leurs coordonnées. Donc les  \(P_2\)  et  \(P_3\)  sont sécants, leur intersection est une droite \(d\) .

De plus, toujours pour des raisons de signes des coordonnées des vecteurs normaux des trois plans, la droite  \(d\)  est donc sécante avec le plan  \(P_1\)  en un point, dont les coordonnées donnent l'unique distribution invariante de la chaîne de Markov considérée.

On a bien retrouvé géométriquement l'existence et l'unicité d'une distribution invariante.

Remarque

Cette démonstration serait valable pour  \(n>3\)  en remplaçant les 3 plans par  \(n\)  « hyperplans ».